MATERI AJAR BARIS DAN DERET GEOMETRI KURTILAS

http://image.slidesharecdn.com/deretgeometri-120312220649-phpapp01/95/deret-geometri-1-728.jpg%3Fcb%3D1331591420

                

Pola dari barisan dan deret geometri tidaklah sama dengan pola dari barisan dan deret aritmatika. Untuk itu, kamu perlu berhati-hati jika menemukan suatu barisan atau deret bilangan. Supaya tidak keliru maka kamu harus bisa membedakan antara barisan dan deret aritmetika dengan barisan dan deret geometri.

Barisan Geometri

    Perhatikan barisan bilangan berikut.

    • 2, 4, 8, 16,…

    • 81, 27, 9, 3,…

Pada kedua barisan tersebut, dapatkah kamu menentukan pola yang dimiliki oleh masing-masing barisan? Tentu saja pola yang didapat akan berbeda dengan pola yang kamu dapat ketika mempelajari barisan aritmetika. Selanjutnya, cobalah kamu bandingkan antara setiap dua suku yang berurutan pada masing-masing barisan tersebut. Apa yang kamu  dapat ?

Ketika kamu membandingkan setiap dua suku yang berurutan pada barisan tersebut, kamu akan mendapatkan perbandingan yang sama. Untuk barisan yang pertama, diperoleh perbandingan sebagai berikut.

4/2 = 8/4 = 16/8 = 2

Bilangan 2 disebut sebagai rasio dari barisan yang dilambangkan dengan r. Barisan yang memiliki rasio seperti ini dinamakan barisan geometri.

Definisi Barisan Geometri

Misalkan U1, U2, ...,Un suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan sebagai barisan geometri apabila memenuhi 

u2/u1 = u3/u2 = . . . .= un/un-1 = r, dengan r = rasio atau pembanding.

  

Rumus Suku ke–n Barisan Geometri

Misalkan terdapat suatu barisan geometri U1, U2, .. ,Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya a dan rasionya r adalah

                

                         Un = ar ^n-1    

 

 Contoh : 

1. Tentukan suku ke 5 dari barisan geometri: 1, 2, 4, 8 , ………

       Penyelesaian:

       a = 1, r =  2  , Maka

  

              U₅ = 1.2 ^5-1   =  2 ⁴   = 16
2. Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri  2,6, 18,   …….

         Penyelesaian:    a = 2, r = 3

             U_n = 2.3 ^n-1   =  2. 3 ⁿ .3^{- 1}  = 2/3 . 3 ⁿ

Deret Geometri

Misalkan U1, U2, .. ,Un adalah barisan geometri maka penjumlahan U1 + U2 + .. + Un adalah deret geometri.

Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai   Deret Geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan. Maka Rumus jumlah suku ke n geometri adalah :

atau

Contoh :

              Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 …Tentukan:

             a. rumus jumlah n suku pertama,

             b. jumlah 7 suku pertamanya

            Jawab:      4 + 12 + 36 + 108 …

             Dari deret tersebut diketahui   a = 4 dan r = 12/4 = 3 , Maka :
         a. Rumus jumlah  n suku pertama
              
              

         b. Maka jumlah 7 suku pertamanya adalah
                   
               S7 = 2.(3^7-1 ) = 2(2.187-1) = 2.2186 = 4.372

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometi tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga. Maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen).  Untuk n = ∞ , r ⁿ  mendekati 0 , Sehingga 

                          S∞ = a / (1-r)       

dengan S∞ = Jumlah deret geometri tak hingga

                              a  = Suku pertama   ,  r   = rasio

                    

           Contoh : 

1. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut  2, 2/3 , 2/9 . . .

Berdasarkan deret tersebut dapat kita ketahui a = 2 dan r = 1/3. Dengan demikian :
                         
                   S∞ = 2 / (1- 1/3 ) = 2 : 2/3 = 2 . 3/2 = 3

           Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 3

 2. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan       bola adalah …

     Jawab :

    Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini,  rumus yang digunakan adalah

                         
                                 Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2 ( kali deret tak hingga)

     Dalam deret tak hingga ini, yang menjadi suku pertamanya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 10 x 3/4 = 30/4 m=7,5 m (suku pertama) 
                        
S∞ = 7,5 / (1-3/4) = 7,5 / (1/4) = 7,5/0,25 = 30m
         

Maka P.Lintasan  = 10 + 2 (30)  =  70 m

Untuk jelasnya kamu bisa melihat tutorialnya lebih lanjut di video ini

1. www.youtube.com/watch?v=2CWWFUSMSZI
2. http://digitalrev.web.id/watch-WYiP4QwZHA4.htm

Latihan Soal :

1. Tentukan suku ke tujuh dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!
2. Tentukan jumlah 10 suku dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!
3. Tentukan Rumus Suku ke-n dari barisan 48 , 24 , 12 , ……!
4. Dari barisan geometri diketahui bahwa U3 = 4 dan U9 = 256, maka tentukan U12 !
5. Tentukan jumlah tak terhingga deret 16 + 32 + 64 !
6.  Suku pertama dari deret konvergen adalah 2, sedangkan jumlah tak terhingganya adalah 4.                   Tentukan rasio deret tersebut!
7. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.

Diambil dari Sumber :

https://aimprof08.wordpress.com/2012/04/28/barisan-dan-deret-geometri/

http://rumusdasarmatematika.blogspot.com/2014/11/deret-geometri-konvergen-atau-tak.html

http://duniamat.blogspot.com/2010/08/deret-geometri-tak-hingga.html