Materi Pertemuan Kedua Agustus Persamaan dan Fungsi Kuadrat Kelas XII SMK Yadika 13

 

Assalamualaikum ww, good morning kelas.

Hari ini kita akan melanjutkan materi kedua, kalian bisa simak baik yang sedang Praktik maupun tidak.

Kemarin kita sudah belajar bagaimana mengenal lagi tentang persamaan Kuadrat dimana rumus umumnya adalah

ax² + bx + c = 0 dimana a dan b adalah koefisien, dan c adalah konstanta 

contoh: x² – 4 x + 3 = 0 maka a = 1, b = -4, c = 3

   1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0. Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 : Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0  diuraikan menjadi x² – 3x - x + 3 = 0   

lalu (x² – 3x) - (x+ 3) = 0                                       

        (x.x – x.3) – (1.x + 1.3) = 0                                         

         x (x-3) -1 (x – 3) = 0

          (x – 3) (x – 1) = 0  sehingga                                                                  

          x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

        x = 3        atau    x = 1    

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1. Hp { 1,3}

 2. Menentukan Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali Rumus Umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  setelah menentukan a,b,c dengan akar-akarnya, buat:

D = b² – 4ac yang disebut diskriminan (D), dikarenakan nilai D = b – 4ac ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh :Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

x² + 5 x + 2 = 0

Jawab : x² + 5 x + 2 = 0  maka a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2 maka D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 

                                                                                              25 – 8 = 17   didapat D=17

Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

Berdasarkan penjelasan di atas dapat kita ketahui bahwa ada hubungan antara jenis akar-akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminannya yaitu D = b – 4ac. Jadi nilai diskriminan D= b – 4ac sangat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, yaitu:

1. Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.

2.     Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.

Jika D= 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama                     (kembar), real dan rasional.

3.    Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real atau khayal (imajiner) 

Selanjutnya, untuk mengetahui jenis-jenis akar persamaan kuadrat (real atau tidak, sama atau tidak, rasional atau irasional) kita tidak perlu menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, tetapi cukup menghitung nilai diskriminan D = b – 4ac.

Agar Ananda memahami dan terampil menggunakan perhitungan nilai diskriminan untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini!

Contoh 1:

Tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut!

a.  x – 10x + 16 = 0          a = 1, b = -10, c = 16 maka D = b²-4ac = (-10)² – 4.1.16 = 100 – 64                                                                                                    = 36 maka D> 0

b.  3x – 36 = 0

c.  x + 6x + 9 = 0

d.  -2x + 3x – 6 = 0      silahkan kerjakan 3 latihan lainnya.

3. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Sebuah Persamaan kuadrat   ax² + bx + c = 0 itu mempunyai akar x₁ dan x₂. Seperti sebuah bilangan 9 misalnya memiliki akar -3 atau 3 ( karena 3,3 = 9 atau -3.-3 = 9). Jadi sebuah persamaan kuadrat juga memiliki akar-akar setelah kita melakukan pemfaktoran kuadrat.

Contoh:

Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

a.     x₁ + x₂

b.    x₁.x₂    

c.     x₁² + x₂²

Jawab: x² – 3x + 4 = 0 , a= 1, b= -3, c = 4  maka:

a.     x₁ + x_{2 =} -b/a = - (-3)/ 1 = 3

b.    x₁.x₂ = c/a = 4/1 = 4

c.     x₁² + x₂²   = Rumusnya x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂   = lalu kita kurung      (x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂) - 2 x₁.x₂  menjadi  (x₁² +  2 x₁.x₂ + x₂²) - 2 x₁.x₂  

Lalu dipecah  ( x₁² +  2 x₁.x₂ + x₂²) menjadi (x₁² +  x₁.x₂ + x₁.x_{2  +}x₂² )

 Lalu diuraikan   (x₁² +  x₁.x₂ ) +  (x₁.x_{2  +}x₂² )

 Lalu dibuat menjadi  (x_1. x₁ + x₁.x₂) +  (x₁.x_{2  +}x_2. x₂)

 Lalu dicari yang sama dikeluarkan seperti memfaktorkan:

                 x₁(x₁ + x₂) + x₂ (x₁ +x₂ ) sehingga jadinya (x₁ +x₂) (x₁ + x₂)

 Maka Hasil akhir: (x₁ +x₂) (x₁ + x₂) - 2 x₁.x₂  

Sehingga penyelesaian dari atas ke bawah:

 x₁² + x₂²   = x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂ 

                     ₌   (x₁ +x₂) (x₁ + x₂) - 2 x₁.x₂    

                 = (3) (3) – 2 ( 4) = 9 – 8 = 1     Hasil dari    x₁² + x₂²    = 1   

Silahkan Latihan sendiri dengan mengikuti Langkah-langkah di atas untuk soal berikut:

1.     x² + 5x + 6

2.    2x² – 2x – 1 = 0          

 

4. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1: Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂.  a=1, b=-2, c=3

Maka:  x₁ + x₂ = -b/a = - (-2)/ 1 = 2,  dan  

            x₁ x₂ = c/a = 3/1 = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka:

p = x₁ + 3      dan       q =  x₂ +3

p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)  kurung dibuka jadi     

           = x₁ + x₂ + 6   = (x₁ +x₂) + 6  

           = 2 + 6 = 8                           

p.q = (x₁ + 3) (x₂ + 3) dikalikan bulan

      = x₁ x₂ + 3x₁ + 3x2 + 9 = x₁ x₂ + 3 (x₁ + x2) + 9

       = 3 + 3(2) + 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q rumus umumnya adalah: 

x² – (p + q)x + p.q = 0

 Sehingga:  Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.

Untuk Latihan Soal:

1.     Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 dan -7.

2.    Tentukan persaman kuadrat yang akar-akarnya adalah α dan β, serta jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah -1 dan -20.

3.    Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan persamaan kuadrat 2x² + 5x - 3 = 0.

Demikian materi pertemuan 2 hari ini, selamat memahami, dan silahkan kerjakan latihan. disetor ke link drive kalian masing-masing. Ms Juli tunggu kemauan untuk berlatih ya. Ayoo kamu pasti bisa!!